В математике полно парадоксов. Не подумайте, я не философствую. Математические парадоксы – устоявшийся термин, который обозначает два противоположных утверждения, каждое из которых является истинным. Об этом поговорим в сегодняшнем выпуске «Эврики».
Ведущий рубрики. Михаил Прохорович, Кандидат физико-математи-ческих наук, доцент кафедры теории функций механико-математического факультета Белорусского государственного университета, основатель группы «ВКонтакте» о научном юморе «Математики шутят» (vk.com/bsu_mmf_jokes).
Чтобы вы лучше понимали, о чем речь, приведем топ-3 парадоксов древности
Ахиллес и черепаха
Его вывел древнегреческий ученый Зенон. Суть в том, что герой «Илиады» быстроногий Ахиллес не сможет догнать уползающую от него черепаху. Рассуждал Зенон так: пусть черепаха находится на 100 метров впереди Ахиллеса, который бежит в 10 раз быстрее черепахи. Пока Ахиллес пробежит эти 100 метров, черепаха успеет уползти от него еще на 10 метров. Пока Ахиллес преодолеет дополнительные метры, черепаха уползет еще на метр и так далее. Процесс будет продолжаться бесконечно, следовательно, Ахиллес никогда не догонит черепаху.
Летящая стрела
Также принадлежит Зенону. Летящая стрела в каждый момент времени неподвижна, а поскольку она неподвижна в каждый момент времени, она неподвижна всегда. Отсюда сразу следует невозможность движения в принципе. По легенде, услышав рассуждения Зенона, Диоген поднялся и стал ходить. А. С. Пушкин написал про это так:
Движенья нет!
Сказал мудрец брадатый,
Другой смолчал,
Но стал пред ним ходить.
Несколько парадоксальных фактов из современной математики
То, что в квадрат можно поместить отрезок, который будет длиннее сторон самого квадрата, знают все.
В куб же поместится квадрат, площадь которого больше площади одной грани куба.
В четырехмерный куб впишется обычный куб, объем которого больше объема одной гиперповерхности гиперкуба.
В n-мерный куб с ребром всего в один нанометр спокойно войдет самый большой океанский круизный лайнер, как только n достигнет нужной величины.
Предупреждение: не пытайтесь представить n-мерный куб! Это мало кто смог, а вот сошли с ума многие.
Кто теперь папа?
Один философ, услышав от английского математика Беpтpана Расселла, что из ложного утверждения следует любое утверждение, скептически спросил:
– Вы всерьез считаете, что из утверждения 2+2=5 следует, что вы папа римский? Неужели вы можете доказать это? Расселл утвердительно кивнул и предложил такое доказательство.
Предположим, что 2+2=5.
Вычтем из обеих частей по тройке: 1=2.
Переставим правую и левую части: 2=1.
Папа римский и я – нас двое. Так как 2=1, то папа римский и я – одно лицо. Следовательно, я – папа римский.
Парадокс лжеца
Софистам приписывают следующую его формулировку: «критянин сказал, что все критяне всегда лгут. Сказал ли он правду?». На том же принципе построен и не менее известный, но более современный парадокс брадобрея: «единственному в городе брадобрею приказали брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется. Бреется ли сам брадобрей?». (Известно следующее шутливое решение парадокса брадобрея – брадобрей должен быть женщиной).
Жизнь всего лишь точка
Представьте, что есть книга, в которой подробно (пусть даже по минутам) описана вся ваша жизнь. Когда вы родились, с кем дружили, кого любили и так далее. Предположим, книга представлена в цифровом виде – например, pdf-файлом. То есть ее можно записать в двоичной системе (цифрами 0 и 1) одним числом (пусть и очень большим). Такому числу соответствует одна-единственная точка на числовой прямой. Получается, вся информация о вашей жизни задается всего лишь точкой действительной оси.
2 в 1
В 1926 году Стефан Банах
и Альфред Тарский доказали, что трехмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Другими словами, это означает, что шар можно «разрезать» на куски, а затем «собрать» из них два таких же шара! Отметим, что данное утверждение, известное как теорема Банаха-Тарского об «удвоении» шара, не является парадоксом в обычном смысле этого слова, так как не приводит к логическому противоречию.
История из мехмата БГУ
Профессор Яков Валентинович Радыно про теорему Банаха-Тарского об «удвоении» шара сказал так:
– Естественно, способ «разрезки» шара в теореме не приводится. Ведь если бы я его знал, то всю страну обогатил... Что значит как? Взять шар, намазать его маслом, разрезать, сложить два шара и соскоблить масло – все, теперь масла стало в два раза больше!
P.S. Отмечу, что вместо масла, размазанного по шару, лучше взять шар из золота. Во-первых, выгода очевиднее. А во-вторых, вдруг намазанная маслом поверхность после сборки окажется внутри – мы ведь не знаем способ «разрезки».
Новая задача
Известно, что вероятность невозможного события равна нулю. А может ли произойти событие нулевой вероятности?
Ответы присылайте на prohorovich@mail.ru. Имена первых пяти победителей мы опубликуем в следующем выпуске «Эврики».
Хочу поблагодарить читателей за активность в решении задачи из предыдущего выпуска «Эврики». Мой электронный ящик засыпан вашими письмами. Правда, только половина из вас решили задачу. Первыми правильные ответы прислали Игорь Бадюков, Алена Шмель, Виктория Дронова, Олег Скороход, Мария Пятницкая. Поздравляем!
А вот правильное решение
Удивительно, но у большой Земли и маленького апельсина получится один и тот же зазор.
Как мы знаем из школьной программы, длина окружности – это 2, умноженное на радиус.
Пусть длина окружности Земли равна L, ее радиус – R. длина окружности апельсина – l, а его радиус – r.
Значит, радиус Земли и апельсина будут соответственно:
R=L/2π и r=l/2π
Прибавим по одному метру к обручам: L+1 и l+1. Тогда радиусы обруча у Земли и апельсина соответственно будут равны:
R=L+1/2π и r=l+1/2π
Чтобы узнать величину зазора, из новых радиусов вычтем прежние.
Зазор Земли:
R1=L+1/2π - l/2π=1/2π
Зазор апельсина:
r1=l+1/2π - l/2π=1/2π
Что и требовалось доказать. Длина зазора будет одинаковой: 1/2π, или почти 16 сантиметров.
