Внимание - олимпиада

Факультет прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета объявляет о начале десятой олимпиады по математике и информатике "Абитуриент БГУ-2001"

Олимпиада пройдет в три тура (первый - заочный). Участниками могут быть учащиеся средних учебных заведений. Участие в первом туре олимпиады платное. Плата за участие 3.100 рублей. Деньги следует отправить почтовым или банковским переводом с пометкой "Олимпиада" по адресу: Белгосуниверситет, пр. Ф.Скорины, 4, г. Минск, 220050, Республика Беларусь, расчетный счет 3622204930033 в Минской городской дирекции ОАО "Белбизнесбанк", код 764.

Решения задач первого тура надо записать в тетрадь, на обложке указать фамилию, имя, отчество, полный домашний адрес с индексом и телефоном, название учебного заведения, класс (или курс), в котором вы учитесь. Тетрадь вместе с копией платежного поручения или квитанцией о переводе следует отправить по адресу

: "Олимпиада", ФПМИ, Белгосуниверситет,

пр. Ф.Скорины, 4, 220050, г. Минск.

Последний срок отправки - 10 марта 2001 г.

Лучшие участники заочного тура будут приглашены в Минск или в свои областные центры на второй тур, который пройдет в середине апреля. Заключительный тур олимпиады будет проведен в мае 2001 года в Белгосуниверситете.

Победители олимпиады при поступлении на факультет прикладной математики и информатики получают право на зачисление без вступительных экзаменов, а призеры принимаются на условиях, предусмотренных "Правилами приема в БГУ на 2001 г." для лиц, которые окончили среднюю школу с золотой (серебряной) медалью.

Примечание. Оргкомитет приглашает к участию в олимпиаде девяти- и десятиклассников, лучшие из которых получат специальное удостоверение и приглашение на второй или третий тур олимпиады ФПМИ в будущем году. Участие для девяти- и десятиклассников в олимпиаде бесплатное. (Задачу N 5 девятиклассникам решать не обязательно.)

Оргкомитет.

Условия задач первого тура

1. Решите уравнение

(x2+3x-2)2 +3(x2+3x-2)-2 = x

2. Пусть an - целое число, ближайшее к Цn. Удалим из множества натуральных чисел все числа вида n + an и занумеруем по порядку оставшиеся: c1, c2, ... . Найдите c2001.

3. В каждую клетку полоски шириной в одну и длиной в n клеток ставится +1 или -1. После заполнения полоски считается сумма записанных в ней чисел. Назовем эту сумму индексом конкретной расстановки. Найдите среднее арифметическое квадратов индексов по всем возможным расстановкам.

4. Длины сторон выпуклого n-угольника равны a1, a2, ..., a6. Обозначим через e1, e2, ..., en единичные вектора, перпендикулярные сторонам a1, a2, ..., an соответственно и ориентированные вовне n-угольника.

Докажите, что вектор a1 fe1 + a2 fe2 + ... + anfen является нулевым.

5. Известно, что в правильную усеченную n-угольную пирамиду можно поместить шар, касающийся всех граней пирамиды, и шар, касающийся всех ребер пирамиды. Определите

: а) при всех возможных значениях n отношения длин ребер оснований этой пирамиды к длине ее бокового ребра;

б) отношения радиусов указанных выше шаров, а также шара, описанного около пирамиды, к длине ее бокового ребра.

6. Ученик выписал на отдельные карточки N натуральных чисел (NI3), образующих арифметическую прогрессию, затем одну карточку выбросил, а остальные перемешал. Опишите алгоритм (дайте его словесное описание), с помощью которого можно определить выброшенное число и восстановить прогрессию. Для случаев, когда это невозможно, дайте обоснование.