Свои версии ее доказательства представили преподаватель из Ухты, доктор наук из Омска и студент из Беларуси
Совсем немного времени осталось в запасе у тех, кто хочет навсегда вписать свое имя в историю математики, получив при этом премию, учрежденную еще в 1908 году. На тот момент она составляла 100 тысяч немецких марок и была обещана тому, кто сумеет доказать Великую, или Последнюю, теорему Ферма. Обязательное условие — сделать это нужно до 13 сентября 2007 года, пишет журнал «Эхо планеты».
Доказанной она объявлялась не раз. Более того, однажды премия даже была присуждена и выплачена. Однако ныне признано, что теорема так и не была решена. Впрочем, обо всем по порядку.
«Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки», — написал на книжной странице Пьер де Ферма, заварив такую кашу, которую человечество пытается расхлебать вот уже четыре века.
Даже тот из нас, кто был в школе неисправимым двоечником, помнит веками освященную истину: «Пифагоровы штаны на все стороны равны». Вряд ли нам было понятно, при чем тут штаны, но не мы придумали — не нам и разбираться.
Более корректно история «про штаны», имеющая, как мы убедимся позднее, определенное отношение к теореме Ферма, формулируется так: «Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы».
Если же мы отвлечемся от геометрии, то есть как бы вообще забудем о существовании треугольника, то сможем сформулировать общую идею: сумма квадратов двух чисел всегда равна квадрату какого-то иного числа, то есть a2 + b2 = c2. Правда, в тех случаях, когда за названными обозначениями скрываются целые числа, приведенное равенство выполняется не всегда.
Ну а теперь, чтобы чуть отдохнуть от формул, совершим небольшой экскурс в историю. В XVII веке в провинциальной Франции жил-был один юрист, который, как это и положено респектабельному человеку, имел хобби. То есть любимое занятие, не приносящее дохода. Все мы знаем, что математик может на досуге играть на скрипке, а химик — писать оперы (надо ли пояснять, что речь идет об Эйнштейне и Бородине?). Но чтобы юрист находил отдохновение и расслаблялся математикой, таких примеров, пожалуй, не найдешь.
За исключением одного — Ферма. Он не публиковал своих работ, однако его имя стоит в одном ряду с такими величайшими математиками, как Эйлер, Декарт, Коши.
Пьер Ферма родился 17 августа 1601 года и прожил 64 года. Его отец был довольно богат и смог дать сыну хорошее образование. Тот учился в школе при францисканском монастыре, а затем в Тулузском университете. Получив степень бакалавра, Ферма был назначен на должность королевского советника в парламенте Тулузы и впоследствии стал именоваться Пьер де Ферма. В его обязанности входил разбор судебных тяжб, надзор за исполнением королевских указов. Через несколько лет Ферма стал главным судьей парламентского суда.
Наверное, стоит вспомнить, что произошло это в самом начале правления кардинала Ришелье — эпохи интриг и множественных заговоров. Считается, что Ферма, несмотря на занимаемую высокую должность, сумел оказаться в стороне от политических страстей в силу неукоснительно соблюдавшихся им правил судопроизводства. Его оберегали знания и добросовестность в выполнении своих обязанностей. Современные историки полагают, что Пьер Ферма прожил жизнь беспечально, не волнуясь и не переживая, но, к сожалению, я не могу в это поверить.
Две его дочери (из пяти детей) ушли в монастырь. Вероятно, были проблемы в семье, хотя бы денежные. А может быть, нравственные? Ведь обычаи инквизиции не успели еще кануть в Лету, и благородный Пьер Ферма, отправляя обязанности главного судьи суверенного суда парламента Тулузы, выносил приговоры. Например, по объявленному им вердикту неугодного священника сожгли на костре. Тем не менее Ферма был окружен уважением, много работал и, конечно, пытался как-то развлечься в свободное время.
Чиновникам официальных учреждений в тогдашней Франции «не рекомендовалось» проводить время в коллективных развлечениях, таких, как игра в карты. И Ферма не нарушал запрет. В качестве домашнего развлечения он выбрал для себя математику. В годы учебы в монастырской школе он, естественно, изучал ее, хотя сведений о его математических успехах в эту пору не сохранилось. Однако, став взрослым человеком и влиятельным чиновником государственного аппарата, Ферма посвящал досуг именно математике. Он занялся геометрией, которая долгое время оставалась его единственной любовью.
Известно, что математика началась как раз с этой науки, необходимой в строительстве, а уж потом начали развиваться более абстрактные разделы: теория чисел, алгебра, аналитическая геометрия. К ее созданию и перешел от «обычной» геометрии Ферма, став фактически основателем этого раздела знаний. Но то был только пролог.
В своих «любительских» работах Ферма еще до Ньютона ввел понятие малых чисел, тем самым создав основы дифференциального исчисления. Всем этим Ферма занимался для себя. Он не стремился публиковать собственные работы, но щедро делился своими озарениями с крупнейшими учеными того времени – сообщал об этом в письмах.
Ферма переписывался с Мерсенном (основателем Парижской академии наук), обоими Паскалями (отцом и сыном), Декартом, с которым на протяжении двух лет вел своего рода письменную дуэль. Собственно, в то время, когда не было ученых степеней и званий, именно профессиональная переписка позволяла выяснить, кто чего стоит и, главное, кто, как теперь говорят, «круче». Во многих письмах Ферма ставил сложные задачи и при этом неизменно указывал, что решение ему известно, за что получил в кругу математиков прозвище «тулузского нахала».
Переписка не была для Ферма самоцелью, он посылал в конвертах свои математические исследования, порой в законченном виде. Именно из писем и найденных, но не опубликованных при его жизни работ вытекает вывод о величии Ферма как ученого и причислении его к когорте крупнейших математиков.
Разработав основы дифференциального исчисления и теории вероятностей (совместно с Паскалем), а также законы отражения и преломления света, Ферма занялся арифметикой. Из его работ по изучению древних математиков родилась высшая арифметика, именуемая в наши дни теорией чисел. Главным интересом исследователя в судейской мантии стала «Арифметика» Диофанта, на полях которой он оставил несколько десятков своих замечаний. Вот из них-то, а также из его приватной переписки и сложилась теория чисел. Одно из замечаний Ферма оставил в том месте, где Диофант формулирует задачу о числовом применении теоремы Пифагора: разложить квадрат на сумму двух квадратов.
Именно эта беглая запись на полях труда Диофанта и стала исходным этапом математического марафона, который продолжается вот уже 370 лет. Это и есть Большая, Великая, или Последняя, теорема Ферма (ПТФ). Даже тем, кто ничего не смыслит в математике, стоит посмотреть, как пульсирует мысль гения: «Для любого целого n > 2 уравнение an + bn = cn не имеет положительных целых решений a, b и c, иными словами an + bn = cn при любых целых положительных a, b, c и n > 2».
Вот тогда-то Ферма и написал про «чудесное доказательство», посетовав, что поля для его изложения «слишком узки». Сформулированная в 1637 году теорема ввиду своей кажущейся простоты по сей день не дает покоя ни профессиональным математикам, ни сонму дилетантов, к которым, строго говоря, принадлежал и сам Ферма. Отгадка Тайны так и не найдена...
Нельзя не упомянуть о том, что идея распространить теорему Пифагора (про те самые «штаны») на показатель степени, превышающий двойку, приходила в голову не только Ферма. История математики знает о том, что среднеазиатский математик Хамид ал-Хадженди объявил о невозможности решения уравнения a3 + b3 = c3 в целых числах. И было это примерно тысячу лет тому назад (а Пифагор, кстати, жил две с половиной тысячи лет назад).
Обладая феноменальной научной интуицией, Пьер Ферма нередко формулировал математические принципы, доказательство которых было сделано лишь долгие годы спустя другими учеными, а некоторые, правда немногие, были опровергнуты. Но сам-то Ферма неизменно говорил, что доказательство ему известно!
К попыткам доказательства Последней теоремы Ферма приложили руку такие крупнейшие математики, как Эйлер, Дирихле, Лежандр. Примечательно, что сама ПТФ не имеет никакого практического применения, однако благодаря усилиям, затраченным на ее доказательство, были получены многие важные результаты в теории чисел и возник новый головоломный раздел математики, названный теорией идеалов.
Страсти накалились в 1908 году, когда немецкий промышленник Вольфскель завещал премию 100 тысяч марок тому, кто сумеет доказать теорему Ферма. История этого приза не менее странна, чем все, что связано с теоремой. Вольфскель собирался застрелиться из-за несчастной любви и, будучи человеком весьма организованным, определил точный день и час самоубийства. Закончив все необходимые дела (завещание, письма и прочее), он обнаружил, что назначенный час еще не наступил. Трудно поверить, но для того, чтобы убить оставшееся время, без пяти минут самоубийца направился в библиотеку и стал читать математические журналы.
На глаза ему попалась статья Куммера, посвященная ПТФ, в которой он обнаружил ошибку. Вернулся домой, до утра писал формулы, опровергающие статью, ошибки на этот раз не нашел, но час «икс» миновал. Самоубийство не состоялось, и в благодарность за сохранение своей жизни Вольфскель завещал огромную премию (100 тысяч марок тогда были процентов на двадцать больше, чем нынешний миллион долларов).
После смерти Вольфскеля Королевское научное общество Геттингена объявило конкурс на доказательство теоремы Ферма (чтобы вспомнить о его сроках, вернитесь к началу). Во избежание ошибки награда может быть выдана только через два года после публикации доказательства. С тех пор появилась колоссальная армия ферматистов, чьи доводы рассматривались и отвергались (количество неверных доказательств сопоставимо разве что с заявками изобретателей вечных двигателей). И так продолжалось до 50-х годов прошлого века, когда два молодых японских математика Танияма и Симура занялись исследованием модулярных форм.
Они изучаются алгебраической геометрией, и это все, что можно о них сказать без применения сложного математического аппарата. На Токийском международном симпозиуме 1955 года Танияма выдвинул гипотезу о связи модулярных форм с давно изученными эллиптическими кривыми. Математическое сообщество эту идею отвергло. Танияма с Симурой продолжали работу, но, видимо, не слишком успешно. В 1958 году в возрасте 31 года разочарованный Танияма совершил харакири. В предсмертной записке, объясняя причины своего поступка, он написал, что утратил всякую уверенность в будущем. Через месяц невеста Таниямы тоже покончила с собой.
Покойный ученый оставил множество идей, существенно повлиявших на развитие теории чисел. После его смерти сподвижник приложил огромные усилия для доказательства гипотезы, получившей имя Таниямы—Симуры. Доказать не доказал, но представил множество подтверждений ее истинности. В 1984 году на математическом симпозиуме в Германии Герхард Фрей выступил с докладом, утверждавшим, что доказательство гипотезы Таниямы—Симуры приведет к доказательству теоремы Ферма. Этот вывод связывал старинную головоломку с наиболее важной проблемой современной математики.
Через год профессор Калифорнийского университета Риббет сумел доказать справедливость предположения Фрея, что возродило интерес к теореме Ферма. Выдвинутая японцами гипотеза стала особенно популярна благодаря работам Андре Вейля, за что многие стали ее называть гипотезой Таниямы—Симуры—Вейля. Эстафета поиска продолжалась. К 1994 году «гипотеза трех» превратилась в теорему. Новым статусом она обязана профессору Принстонского университета Эндрю Уайлсу. Итоги своего восьмилетнего труда он обобщил в 1995 году, опубликовав доказательство, занявшее более ста страниц и опиравшееся на достижения математики XX века.
В 1997 году Уайлс получил премию Вольфскеля — 50 тысяч долларов. Казалось бы, все? Не тут-то было: подсчитано, что после работы, выполненной Уайлсом, статьи об очередном доказательстве инфернальной теоремы появлялись с очередностью по паре штук в неделю.
Но ферматистов не покидает мечта разгадать загадку великого Ферма. Не владея современным объемом математических знаний, он не мог получить решение, подобное доказательству Уайлса. Так что же имел в виду легендарный француз, когда писал, что на книжных полях для него мало места?
Размеры моей статьи не позволяют упомянуть об огромном количестве доказательств частных случаев теоремы Ферма, приведенных еще до Уайлса. Отмечу лишь, что первый такой частный случай был рассмотрен самим Ферма, изложившим в процитированной выше записи доказательство теоремы для случая n = 4. На полях «Арифметики» Диофанта это уместилось. И это, между прочим, наводит на мысль о том, что сам Ферма не знал доказательства общего случая, иначе зачем было записывать частный?
Но возможно и другое объяснение: Пьер Ферма хотел дать подсказку потомкам. Лишь через 100 лет Эйлер как бы откликнулся на нее, найдя доказательства для ряда n > 3, и тем самым в свою очередь дал толчок другим математикам начать поиски решений для частных случаев.
Драматическая весть прозвучала в 1847 году. Немецкий математик Куммер прислал в академию обоснование невозможности доказательства теоремы Ферма в рамках современной математики. Вот это был удар! Впрочем, он оказался не смертельным. Достаточно сказать, что сам Куммер, несмотря на собственные выводы, доказал все частные случаи для n < 100 и заслуженно получил за это премию Французской академии.
И все же с тех пор заниматься доказательством теоремы Ферма для многих представителей математического мира стало считаться дурным тоном. Не потеряли энтузиазма лишь математики-любители, до сегодняшнего дня пытающиеся «расширить» те самые поля, что оказались узкими для Ферма.
И материальная сторона дела их не слишком волнует. Кстати, щедрая премия, установленная в завещании Вольфскеля, почти за сто лет, прошедших с того времени, изрядно похудела. Достаточно упомянуть, что после окончания Первой мировой войны в поверженной Германии произошла чудовищная инфляция. О ее масштабах свидетельствует хотя бы такой факт: на предприятиях зарплату работникам выдавали дважды в день — в обеденный перерыв и перед уходом с работы, так как курс марки стремительно снижался...
После Второй мировой войны, когда появились компьютеры, наступила эпоха программистов. Их усилиями теорема Ферма численно проверялась для все больших и больших значений n. К настоящему времени их насчитывается уже до 4 миллионов! Активно участвуют в этой деятельности и наши соотечественники, принадлежащие к самым разным поколениям. Только в минувшем году свои версии доказательства ПТФ на суд общественности представили преподаватель из Ухты Михаил Турусов, доктор технических наук Александр Ильин из Омска, студент Александр Лещинский из Беларуси.
За долгую историю борьбы человечества за расшифровку теоремы Ферма множество раз появлялись сообщения о раскрытии тайны, но все доказательства, приводимые авторами очередных сенсаций, на поверку оказывались ошибочными. Но главное в другом: общими усилиями профессионалов и любителей, ломавших голову над роковой загадкой, сама математика вышла на новые рубежи. И этого никто не оспорит!
Елизавета Каширская
